数的发明与发现之争:人的世界毁灭,数的世界仍在?

2019-11-07 14:28:55
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记者:也许自从你上次数学考试结束后,你就没有仔细考虑过数学相关的问题,尽管你仍然需要处理租金、电费、餐费、加减法的具体数字。数字将我们与过去联系起来——在历史上,当人们开始定居下来时,数字是在人类社会的早期发明的,因此成为人类最早的文化成就的一部分。数字也将我们与未来联系在一起。毕竟,今天的时代被定义为所谓的“数字时代”。

在这种情况下,你有没有想过这样一个问题:数字真的是人类创造的吗?这是客观存在吗?我们对数学定律和性质的探索与物理学家对基本粒子性质的探索没有什么不同吗?由于数学定理是逻辑推理的必然结果,它与我们是否相信它无关,在它被写成公式并被证明之前,它就已经存在并且是正确的,有一个“形而上学”的数字王国吗?即使人类生活的世界明天将被毁灭,这个不依赖人类意志的数字王国会永远存在吗?

关于数字本质的哲学争论一直在进行——一个学派认为数字是独立于精神的客观存在,另一个学派认为数字是由人类创造的,存在于人类思想中。从柏拉图到罗素和哈代,到十年前欧美数学界关于数学本质和“柏拉图主义”的激烈争论,数学思维的进步实际上是对人类思维的重新认识。

哲学家、逻辑学家和数学家都试图为数学建设建立一个合适的基础,这导致了20世纪初的“数学基础危机”。三大学派——逻辑主义、形式主义和直觉主义——试图在哲学领域找到数学的基础和意义,但都遇到了意想不到的困难。因此,计数是被发明还是被发现,今天仍然对每个人开放。

当然,许多数学家也认为思考他们的学科基础是“浪费时间”。当应用于解决具体问题时,幸运的是数学的成功并不依赖于哲学观点。美国数学家巴里·马祖尔(Barry mazur)对他的研究工作有着如此精彩和激动人心的描述:“当我工作时,我有时会有一种感觉——也许是幻觉——我专注于结构或数学对象的纯粹柏拉图式美;在其他时候,我是一个快乐的康德主义者,对直觉构造亚里士多德所谓的“物体的形式条件”的强大能力感到惊讶。有时我似乎跨在两个阵营之间。在我看来,这种经历带来的紧张、晕眩的想象力、直觉的飞跃和对与某个概念王国相对应的实体的“看见”造成的窒息感,以及我对所有这些的热情,是数学对我如此重要的原因。

数学世界的宝藏是无穷无尽的,也许它真的可以被挖掘到人类世界毁灭的那一天。到那时,号码还会在吗?

(摘自《了解你的心》)

[美国[文]阿尔弗雷德·波萨曼蒂译

几千年来,许多研究都涉及到数字,数字本身就是人们研究的焦点。数学家们已经发展和完善了对人类对数的理解,积累了大量关于数字及其应用的知识,并产生了在许多领域将数字用于各种目的的精巧方法。除了自然数,数学家还引入了许多新的数字类型,如负数、有理数、实数和复数。此外,他们自然一直在思考数字的本质,即“什么是数字”和“为什么数字在宇宙中扮演如此重要的角色”。

数字的概念反映了世界的一些基本属性,特别是将物体组织成相互可区分的元素集合的可能性。进化给人类和其他物种带来了原始的数字感,使人类对小数字有准确的感知,对大数字有近似的感知。计算任何集合都需要这些方面的结合,因此需要只有聪明人才能拥有的智慧。当人口开始定居时,数字是在人类社会早期发明的,因此成为人类最早文化成就的一部分。因此,数字似乎是人类的发明和人类智力的工具。人类用它们来为世界的各个方面建立适当、实用和智能的表达方式。简化和信息简化的过程导致了数字概念的抽象,这似乎是一种智力结构,一种有助于经济地组织思维过程的人脑功能。

然而,数学家们通常对数字和其他数学对象有自己的观点。当数学家们深入研究时,他们觉得像数字和数学对象这样的实体不仅是人类创造的,而且更客观地存在。他们认为数字是被发现的,而不是被发明的。对其定律和性质的探索与物理学家对基本粒子性质的探索没有什么不同。唯一的区别似乎是基本粒子存在于物质世界,而数字以非物质但非心理的方式存在。然而,像基本粒子一样,数字的存在似乎与人类精神世界无关。物理学家使用实验和测量设备,而数学家使用他们的直觉、逻辑思维和抽象推理在未知领域发现美和真理。数学家从事研究的世界是一个充满数学对象和概念的抽象世界。当他们发现以前未知的关系、模式和结构时,人类知道了一个新的数学知识领域,并在抽象世界中达到了一个新的领域。数学家们认为,这与过去发现地球上没有人类涉足的地区是一样的。

这一观点不容否认。例如,我们“发现”了前n个奇数的和等于n的平方的结果。根据从给定的平方数构造下一个平方数的方法,我们发现这个结果通过显式几何直觉是绝对正确的。这种事实感进一步被代数方法所证实,而代数方法根本不需要用几何学来可视化。数学家们因此普遍认为这个结果对所有自然数都有效。一旦它被证实为事实,人们会觉得它不仅表达了精神信念或社会共识。事实上,这个结果是逻辑推理的必然结论,与人类的信仰或态度无关。

这给我们的印象是,这样的结果表达了客观的真理,这些真理在被写成公式并被证明之前是存在的和正确的。因此,人们认为“形而上学的”数字“王国”是客观存在的,与物理宇宙无关。换句话说,即使明天整个宇宙消失,数字世界仍将永远存在。

上面,我们描述了两种对立的关于数字的哲学观点:一是数字独立于精神,存在于外部和形而上学的世界中;另一种观点认为数字是人类创造的,就像对象集的分类和排序一样。它们是人类用来处理各种事务并存在于人类思想中的设计。

数字、三角形和方程等数学对象独立存在于“数学王国”中,不属于物理对象的世界,也不属于人类的思维。这种哲学观点被称为“柏拉图主义”,以古希腊哲学家柏拉图(428/427-348/347)的名字命名。在他的“理性理论”中,柏拉图声称思想比物质对象更具有本质的真实性。意识形态概念或“理性类型”是非物质的、抽象的,存在于形而上学的思想世界中。通过我们的感觉理解的物质对象只是其理性类型的投射或例子,这才是真正的本质。人类就像穴居人,背靠着洞口,只能观察眼前墙壁上外部真实世界的投影。因此,真正的内涵只能通过思想的研究来获得。人类的感觉不能直接识别原因的类型,但是推理可以。

直到20世纪,这确实是对数字本质的共识。数学家认为,数字是抽象思维的非物质“王国”中的“真实”对象,独立于人类而存在。现代数学家通常不认为物质世界是如此的不真实,但是许多人仍然支持柏拉图关于数学对象真实性的观点。例如,法国数学家查尔斯·隐士(1822-1901)说:“我相信数字和解析方程不是我们思想的随机结果。我认为它们存在于我们之外,与客观真实的事物有着同样的必然性。我们遇见他们,找到他们,研究他们,这与物理学家、化学家和动物学家没有什么不同。”

在另一个场合,隐士写道:“如果我没有弄错的话,那么就有一个完整的世界,它由所有的数学真理组成,但是我们只能通过思想来接触它们。正如物质世界是真实的一样,两者都是相似的,独立于我们,生于道。”

英国著名数学家哈代(1877-1947)写了一本名为《数学家的道歉》的书,他的丈夫在书中说,“我相信数学确实存在于我们之外。我们的功能是发现和观察它。我们厚颜无耻地称这个定理为我们证明了自己的‘创造’,但事实上它只是我们观察和思考的记录。”

2007年,英国数学家布赖恩·戴维斯(1944—)发表了一篇题为《终结柏拉图主义》的文章,这再次引发了对数学本质的讨论。戴维斯指出,对抽象数学世界独立存在的信念暗中对人脑的功能做出了假设。柏拉图主义者似乎相信人脑可以与柏拉图的王国产生联系,从而超越时空限制延伸到抽象的宇宙。对戴维斯来说,这种观点“更接近神秘的宗教,而不是现代科学”。他指出,对人脑产生数学机制的科学研究表明,数学的思维过程有着纯粹的生理基础,这些研究“与柏拉图主义无关”。柏拉图主义的主要功能是给信徒一种安全感,而另一个功能是为数百名哲学家提供就业机会,使他们徒劳地试图将其与我们对世界的所有知识相调和。现在我们应该认识到,数学与人类所有其他同等重要的智力技能没有什么不同,因此抛弃了柏拉图主义——古代宗教的最后残余”。

到2008年,美国数学家鲁本·霍耳(1927—)和巴里·马祖(1937—)发表了两篇回应文章,进一步推动了讨论。在他们看来,数学是人类的,取决于文化追求,但这一事实与数学对象的真实性无关。因此,即使进化为人类提供了对数字的原始理解,即使我们头脑中的数字形象确实依赖于社会学因素,数字仍然可以独立存在。马祖尔博士给出了以下例子:如果我们对数字不感兴趣,但是“当写大峡谷的描述时,如果纳瓦霍人、爱尔兰人和索罗亚斯德教徒被安排写他们自己的描述,那么这些描述必须受到他们各自文化背景的深刻影响,甚至取决于他们的情感、教育和语言”。然而,这不会“破坏我们对大峡谷存在的坚定信念”。

根据鲁本·霍尔斯的观点,柏拉图主义“表达了对数学的正确理解。数学事实和数学实体是存在的。他们不服从数学家的个人意志和异想天开,而是把客观事实和实体强加给数学家的头脑”。然而,在他看来,“柏拉图主义的谬误在于它对这个客观现实的错误解释,它把它置于人类文化和感知之外。正如许多其他文化是真实的一样,从任何个人的角度来看,它们都是外在的和客观的。然而,从社会或文化的整体角度来看,它是内在的、历史的,并受到社会的制约。”

20世纪初,哲学家、逻辑学家和数学家试图为数学建设建立一个合适的基础,这导致了所谓的“数学基础危机”。因此,出现了一些学术团体,激烈地相互批评,对正确的方法有着非常不同的看法。在20世纪上半叶,三个最有影响力的学派被称为逻辑主义、形式主义和直觉主义。由于数字是数学的基本要素,不同的哲学流派对数字的概念持有不同的观点。

例如,逻辑主义学派最著名的成员是德国数学家戈特利布·弗雷格(1848-1925)和英国数学家伯特兰·罗素(1872-1970),他们试图把所有数学建立在逻辑的基础上。特别是,他们认为数字应该由集合论的基本实体决定,而算术应该从第一个逻辑原理推导出来。这是一个重要的目标,因为所有传统的纯数学事实上都可以从自然数和纯逻辑命题的性质中推导出来。这个想法早在德国数学家戴国安·德金(1831-1916)的著作中就出现了,他在1889年写道,“我认为数字的概念完全独立于直觉和关于时间和空间的想法...我宁愿认为这是纯粹思想法则的直接产物。”罗素在1903年写道,逻辑主义的目标是“证明所有纯数学只处理由极少数基本逻辑概念定义的概念,其所有命题都可以从极少数基本逻辑原则中推导出来”。逻辑主义的计划是将数字的概念恢复到一个基于纯逻辑的基本概念,以“建立整个序数理论作为逻辑的一个特殊分支”这样,罗素希望给数字的概念一个明确的含义。

另一方面,形式主义并不试图赋予数学对象任何意义。该学派的主要倡导者是德国数学家大卫·希尔伯特(1862-1943)。在这个学派的解决方案中,被直接认为是正确的命题被称为“公理”。它的目标是用一些公理来定义数学理论。从这些公理中,数学定理是从逻辑推理规则中推导出来的。形式主义学派对数字的性质或数字是否有意义没有兴趣。他们只关心数字的形式性质,也就是支配他们关系的规则。遵循这些规则的任何对象集都可以被视为数字。最能表达形式主义思想流派的是希尔伯特的一句名言:“数学是一个有简单规则和无意义符号的符号游戏。”

直觉主义起源于布劳威尔(1881-1966)。这所学校是非柏拉图主义,因为它的哲学基于“数学是人脑的创造”的理念。由于数学陈述是思维结构,陈述的正确性最终是数学家直觉所认可的主观断言,数学的形式化只是人们交流的工具。“排除中间法则”是传统逻辑的一个基本规则,它规定一个命题是正确的还是不正确的。直觉主义否定了排除中间法则的正确性,从而极大地背离了古典数学和其他哲学流派。直觉主义对于什么样的证明是可接受的这个问题尤其特别。对于直觉主义者来说,一个数学对象的存在,例如一个方程的解,只有当它能够被清楚地构造出来时,才会被认识到。这与古典数学相冲突,在古典数学中,如果一个数学对象不存在的假设会导致矛盾,那么这个数学对象的存在就被证明了。换句话说,古典数学可以通过反证法来证明,而直觉主义需要明确的结构证明。然而,主要区别在于直觉主义者对“无限”的态度。对于直觉主义学派来说,有限数的算术通常仍然是正确的,并且在这方面它与古典数学有许多共同之处。

逻辑主义、形式主义和直觉主义都对数学的基础作出了有益的贡献,但它们也遇到了意想不到的技术困难,最终使它们无法完全达到预定的目标。

哲学问题通常找不到普遍认同的答案。同样,数字是被发现还是被发明的问题并没有得到大多数数学家的肯定回答。将来这个问题可能会有很多观点和解决方案。

然而,对于大多数数学家来说,上述问题对他们具体的数学实践没有影响。一些数学家甚至怀疑哲学的用处。斯蒂芬·温伯格(1933—)是获得诺贝尔物理学奖的美国物理学家。在他1994年的书《终极理论的梦想》中,有一章题为“反对哲学”。他写道,“我们不应该期望哲学在工作的方式或目标上为今天的科学家提供任何有用的指导”。事实上,任何严格的哲学立场都可能阻碍自由和公正的思维,从而阻碍人类进步。例如,如果我们坚持终极有限主义的观点,我们将放弃大部分数学,包括许多具有极其重要的实际应用的数学分支。

因此,很多数学家认为,关于他们学科基础的思索是“浪费时间”。2013年,在题为《数学需要哲学吗?》的论文注释中,英国哲学家托马斯·福斯特(1948—)写道:“很不幸,数学哲学所传达的大多数东西并不来自数学的实

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